H. Рождение частицы

Тяжелые частицы, как правило, нестабильны и быстро распадаются. Когда эти тяжелые частицы рождаются в ускорителях, то изучать их приходится по продуктам их распада: траектория тяжелой частицы очень коротка. Нередко процесс распада происходит поэтапно: сначала тяжелая частица распадается на несколько менее тяжелых, а они, в свою очередь, распадаются на множество значительно более легких. Конечно, исследование таких распадов — сложная задача. Вам сейчас предстоит решить значительно более простую. В Вашем распоряжении оказалась «моментальная фотография» одного процесса распада тяжелой частицы. Точка, в которой она распалась, уже известна и обозначена как начало координат.

По предположениям ученых, среди продуктов распада присутствовали в том числе две весьма тяжелые частицы, которые, в свою очередь, породили значительную часть легких частиц, отображенных на «моментальной фотографии». И теперь ученые хотят выделить два пучка, которые (суммарно) содержат наибольшее число частиц.

Назовём радиус-вектором частицы вектор, проведенный из начала координат, к точке, где расположена частица. Назовём частицу с радиус-вектором соседней справа для частицы с радиус-вектором , если при повороте радиус-вектора по часовой стрелке на некоторый угол φ его можно совместить с , и при этом не существует никакого другого радиус-вектора, с которым бы совмещался при повороте по часовой стрелке на угол, меньший φ.

Назовём частицу с радиус-вектором соседней слева для частицы с радиус-вектором , если при повороте радиус-вектора против часовой стрелки на некоторый угол θ его можно совместить с , и при этом не существует никакого другого радиус-вектора, с которым бы совмещался при повороте против часовой стрелки на угол, меньший θ.

Если одна из частиц является для другой соседней слева или соседней справа, будем говорить, что эти частицы являются соседними.

Назовём пучком с характеристикой α набор из трех или более частиц, для которых выполняются следующие условия:

1. Угол между любой парой соседних частиц в этом наборе не превосходит α, а угол между парой соседних частиц, одна из которых входит в этот набор, а другая не входит, превосходит α.
2. Радиус-вектор любой частицы набора может быть совмещен с радиус-вектором любой другой частицы набора поворотом, при котором радиус-вектор частицы будет последовательно совмещаться только с радиус-векторами частиц набора.

Некоторая частица может принадлежать либо только одному пучку, либо не принадлежать никакому пучку.

Ваша задача — определить величину α, которая позволит выделить на «моментальной фотографии» два пучка таким образом, чтобы количество частиц в них было максимально возможным. Также следует указать состав каждого из пучков.

Гарантируется, что на «моментальной фотографии» всегда можно выделить хотя бы два пучка частиц.